El teorema de Rolle obtiene su nombre de Michel Rolle (1652 – 1719), un matemático francés. Rolle fue uno de los primeros matemáticos en trabajar en el desarrollo del cálculo, a pesar de que fue uno de los críticos de las bases de esta área. Asimismo, es uno de los inventores del procedimiento conocido como eliminación gausiana.
Enunciado del teorema
El teorema de Rolle nos permite afirmar si una función tiene un punto crítico en un intervalo dado. Este teorema se enuncia como sigue:
Teorema: Sea una función que
1 es continua en ,
2 es derivable en ,
3 y cumple que .
Entonces existe algún punto tal que .
Gráficamente el teorema se interpreta como que existe un punto en el que la recta tangente es parallela al eje-x (siempre que se cumplan las hipótesis del teorema). Justo como se observa la siguiente figura:
Si alguna de las hipótesis falla, entonces no podemos concluir que no existe punto tal que . Es decir, es posible que y que todavía exista un punto tal que .
En el mundo de las ciencias formales que basan sus teorías y fundamentos en hechos lógicos y matemáticos, las funciones son un elemento de suma importancia para la compresión y descripción de fenómenos que integran la interacción de dos elementos o más.
Para el análisis de estas funciones existen muchas técnicas y herramientas matemáticas, como las derivadas y las integrales, de esta última te hablaré a continuación, su concepto, definición, características y algunos datos relevantes acerca de ellas.
Definición de una integral matemática
En términos propios de la matemática, a lo que se refiere la integración es a un concepto primitivo del cálculo para el análisis matemático. En síntesis, una integral se trata de una generalización de la suma de infinitos sumandos extremadamente pequeños, es decir, es una suma continua. Una característica fundamental de su definición es que es la operación inversa o contraria a la derivada de una función. A pesar de lo complejo que puede llegar a ser su cálculo, existen herramientas que facilitan este proceso de forma automatizada, como lo es la calculadora de integrales.
Cálculo integral
Algo fundamental para el cálculo de una integral, es la rama de la matemática llamada cálculo integral, el cual es de uso muy común en la ciencia y más específicamente en la ingeniería, donde es utilizada para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución, como por ejemplo, una arandela.
Con el cálculo integral se busca estudiar los cambios de variables, los métodos de integración, los volúmenes de sólidos de revolución, así como también los tipos de integrales, como las definidas, indefinidas, impropias, de línea, entre otras.
Tipos de integrales
Existen distintos tipos de integrales, y cada una tiene sus propias características particulares que dan forma a su definición y concepto, e influyen en sus usos y aplicaciones. A continuación, te hablaré en forma resumida sobre algunos de los tipos de integrales.
Integrales indefinidas
Las integrales indefinidas corresponden al conjunto de funciones primitivas de una función, el cual no es más que la suma entre las primitivas y la constante de integración.
Al calcular una integral indefinida siempre se le añade la constante de integración, representada por la letra C, para expresar matemáticamente que la función tiene infinitas primitivas diferentes. Esto es debido a que la derivada de una constante es igual a cero, lo que quiere decir que son infinitas las constantes que pueden acompañar a la primitiva de una función obtenida por medio de la integración indefinida, formando así tantas funciones como constantes existan, es decir, infinitas.
Además, el cálculo de las integrales indefinidas representa un método sencillo para el cálculo de integrales definidas de una gran cantidad de funciones.
Integral Definida
Este tipo de integral corresponde muy bien a la definición que ya te mencioné anteriormente de una integral en general. Las integrales definidas tienen la particularidad de ser calculadas en un intervalo definido de la función.
Una integral definida representa el área que delimita una función graficada en un plano cartesiano.
Integral Impropia
La integral impropia está relacionada con las integrales definidas, pues esta corresponde al límite de estas integrales cuando alguno de los extremos del intervalo o ambos se acercan al infinito positivo o negativo, o cuando tienden a algún número que no está dentro del dominio del intervalo.
Existen tres especies de estas integrales:
Primera especie
Estas son integrales donde la función tiende al infinito positivo o el negativo en alguno de los extremos del intervalo.
Segunda especie
Las integrales impropias de este tipo, son similares a las definidas, tienen una definición clara en los extremos, pero esta definición se pierde en algún punto dentro del intervalo entre los extremos.
Tercera especie
Es la mezcla entre las dos anteriores, en estas integrales alguno de los extremos es infinito y la función tiende a infinito en un punto o más dentro del intervalo de integración.
El análisis de funciones consiste en el estudio de las características de las mismas a fin de poder describir con precisión los fenómenos que representan. Por ejemplo, si tenemos una función que describe la evolución de la temperatura de un determinado objeto a medida que le suministramos calor, conociendo su máximo y su mínimo podremos saber el rango de temperaturas para el cual estar preparados cuando manipulemos el objeto en cuestión. El estudio de una función comprende principalmente los siguientes elementos.
Dominio
Como ya sabes, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales está definida. Ya hemos visto que se puede restringir el dominio de una función real por distintas razones:
Cuando sea matemáticamente imposible realizar alguna operación con ciertos valores x. Por ejemplo, en la función f(x)=1/x, el valor de x puede ser cualquiera salvo x=0, ya que ningún número se puede dividir entre cero. De ahí que Domf=ℝ-{0}
Cuando el contexto real del que se ha obtenido la función así lo determine. Por ejemplo, en el caso del valor de la fuerza gravitatoria con que se atraen dos partículas, la fuerza puede ser considerada como una función que depende de la distancia entre las mismas, y no tiene sentido que esta sea negativa
Cuando lo necesitemos por alguna otra razón
Es habitual empezar el análisis de una función estudiando su dominio. Recuerda:
Para calcular el dominio:
Si tenemos la expresión analítica de una función (su ecuación), determinamos su dominio buscando los valores de x para los que no está definida y quitándolos de ℝ
Si lo que tenemos es la gráfica de la función, el dominio se calcula proyectando la función sobre el eje horizontal x
Recorrido
El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la función. Ya hemos visto en un apartado anterior como calcularlo. Recuerda:
Para calcular el conjunto imagen o recorrido de la función:
Si tenemos la expresión analítica de la función, y esta tiene inversa, el dominio de esta última es el recorrido de la función original
Si lo que tenemos es la gráfica de la función, o podemos esbozarla, determinamos el recorrido proyectando sobre el eje y
Ceros
Los ceros de una función son los puntos de corte con el eje horizontal x. Todos cumplen que f(x)=y=0. Son importantes porque en ellos la función puede cambiar de signo.
Ceros de la función
La gráfica de la figura representa una función con tres secciones o ramas. En azul se han señalado los ceros de la misma. La rama más a la izquierda cuanta con dos ceros, en x=x1 y x=x2. En la segunda rama, hay un cero, en x=x4. En la tercera rama hay un cero en x=x6.
Observa que en x=x1 la función pasa de ser negativa a ser positiva; en x=x2 y x=x4 pasa de ser positiva a ser negativa; En x=x6 no cambia el signo. Por otro lado, observa que en la asíntota vertical x=x3 y en el cambio de rama x=x5, la función pasa de negativa a positiva sin que haya ningún cero.
Para calcular los ceros:
Si tenemos la expresión analítica de una función (su ecuación), resolvemos f(x)=0
Si lo que tenemos es la gráfica de la función, los ceros son los puntos de corte de la gráfica con el eje x
Signo
Estudiar el signo de una función consiste en determinar el conjunto de valores de x para los cuales f(x)>0, (signo positivo) y el conjunto de valores para los cuales f(x)<0, (signo negativo).
Signo de una función
En la ilustración tenemos, en trazo rojo, la gráfica de una función. Los tramos en los que transcurre por encima del eje x (y>0), son tramos de signo positivo. Estos son: (x1, x2), (x3, x4) y (x6, ∞). Los tramos en los que transcurre por debajo del eje x (y<0) son tramos de signo negativo. Estos son: (-∞, x1), (x2, x3) y (x4, x5).
Para calcular los intervalos de signo constante:
Si tenemos la expresión analítica buscamos los valores de x en los que la función puede cambiar de signo. Estos son:
Los ceros de la función
Las asíntotas verticales (en el caso de las funciones racionales, por ejemplo, los puntos que anulan el denominador)
Los cambios de ramaÉstos valores de x dividen la recta real en varios intervalos. Para averiguar el signo de la función en cada uno de ellos, se elige un valor de x al azar de cada intervalo (xi) y se calcula su imagen (f(xi)). El signo de f(xi) será el signo de la función en ese intervalo.
Si lo que tenemos es la gráfica de la función, los intervalos de signo positivo son aquellos en los que la función queda por encima del eje x, y los de signo negativo, aquellos en los que queda por debajo
Normalmente nos valdremos de un cuadro de signos para determinar los intervalos de signos constantes en las funciones cuando estas se puedan factorizar. El siguiente ejemplo te aclarará estos procedimientos.Ejemplo
Estudia los intervalos de signo constante en las siguientes funciones:
f(x)=−12×2+12x+3
f(x)=x+2x−2
f(x)=x2x+4
f(x)=x−9x
Monotonía
Estudiar la monotonía de una función consiste en estudiar su crecimiento y su decrecimiento, sus máximos y sus mínimos. En este punto vamos a introducir todos estos conceptos, y a darte una primera aproximación sobre como puedes trabajarlos. En apartados posteriores te enseñaremos a hacerlo de manera más sistematizada, mediante derivadas.
Crecimiento y decrecimiento
Idea intuitiva de crecimiento
A la izquierda, en 1, un tramo creciente de una función. A medida que aumenta el valor de x aumenta también el valor de y correspondiente. A la derecha, en 2, un tramo decreciente de una función. A medida que aumenta el valor de x, disminuye el valor de y correspondiente.
A la vista de estas ideas intuitivas podemos hacer las siguientes definiciones.
Decimos que una función f(x) es creciente en un intervalo (li, ls) de su dominio si para cualquier par de valores x1, x2 pertenecientes a dicho intervalo y con x2>x1, se cumple que f(x2)≥f(x1). Si además se cumple que f(x2)>f(x1) decimos que la función es estrictamente creciente en ese intervalo.
Decimos que una función es creciente (a secas) cuando lo es en todo su dominio. Igualmente, decimos que una función es estrictamente creciente (a secas) cuando lo es en todo su dominio.
Función estrictamente creciente vs función creciente
A la izquierda, en 1, una función estrictamente creciente. A la derecha, en 2, una función creciente. En esta última puede haber dos valores de x con igual imagen, como es el caso de x1 y x2.
Decimos que una función f(x) es decreciente en un intervalo (li, ls) de su dominio si para cualquier par de valores x1, x2 pertenecientes a dicho intervalo y con x2>x1, se cumple que f(x2)≤f(x1). Si además se cumple que f(x2<f(x1) decimos que la función es estrictamente decreciente en ese intervalo.
Decimos que una función es decreciente (a secas) cuando lo es en todo su dominio. Igualmente, decimos que una función es estrictamente decreciente (a secas) cuando lo es en todo su dominio.
Función estrictamente decreciente vs función decreciente
A la izquierda, en 1, una función estrictamente decreciente. A la derecha, en 2, una función decreciente. En esta última puede haber dos valores de x con igual imagen, como es el caso de x1 y x2.
Observa que una función no necesariamente tiene que ser creciente o decreciente en todo su dominio, sino que puede tener intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Además recuerda que una función también puede ser constante cuando cumple f(x)=k.
Criterio de la recta tangente
La recta tangente a la función es creciente en los intervalos de crecimiento (pendiente positiva m>0) y decreciente (pendiente negativa m<0) en los de decrecimiento. Este criterio supone la base para sistematizar el estudio de la monotonía de las funciones, y, como te hemos dicho, volveremos a él cuando conozcas las derivadas.
Crecimiento y recta tangente
Podemos averiguar si estamos en un intervalo de crecimiento o de decrecimiento estudiando la pendiente de la recta tangente. A la izquierda, en el intervalo de decrecimiento de la parábola negra, la recta, en rojo, está orientada hacia abajo (pendiente negativa). A la derecha, en el intervalo de crecimiento, la recta, en verde, está orientada hacia arriba (pendiente positiva).
Máximos y mínimos
A los máximos y mínimos se les denomina de manera genérica extremos de la función y pueden ser absolutos o relativos.
Idea intuitiva de extremos
Observando las dos gráficas de la ilustración resulta inmediato identificar intuitivamente los máximos y los mínimos. Los máximos son los puntos más grandes de la función en su entorno. Los mínimos son los más pequeños. Dado un máximo, cuando el valor de su coordenada y es superior o igual al resto de imágenes de la función, se trata de un máximo absoluto. Si no, es un máximo relativo. Análogamente, dado un mínimo, cuando el valor de su coordenada y es inferior o igual al resto de imágenes de la función, se trata de un mínimo absoluto. Si no, es un mínimo relativo.
A partir de esta idea intuitiva, veamos dónde pueden encontrarse.
Cuando una función pasa de creciente a decreciente la función tiene un extremo llamado máximo. Cuando pasa de decreciente a creciente la función tine un extremo llamado mínimo. Estos extremos pueden ser locales (relativos) o globales (absolutos).
Un máximo es absoluto cuando la función nunca supera el valor del máximo en ningún otro punto de su dominio. Por tanto, una función puede tener varios máximos absolutos, pero su valor en ellos debe ser único. Si no es absoluto, el máximo es relativo. Análogamente, un mínimo es absoluto cuando la función nunca iguala ni queda por debajo de la imagen del mínimo en todo su dominio. Igualmente, pueden existir varios mínimos absolutos, pero el valor de todos ellos será el mismo. Si no es absoluto, el mínimo es relativo
Los extremos de la función pueden aparecer, además, en los extremos del dominio o en los puntos de cambio de rama en el caso de las funciones definidas a trozos.
Extremos en funciones con dominio acotado y funciones a trozos
A la izquierda, una función con un dominio acotado al intervalo [x1, x4]. El mínimo absoluto, en este caso, se encuentra precisamente en uno de los extremos del dominio de definición (x1,f(x1)). El máximo absoluto en el otro extremo ((x4,f(x4))). Por otro lado, los puntos en los que la función pasa de creciente a decreciente (x2,f(x2)) y de decreciente a crecinte (x3,f(x3)) son en este caso extremos relativos (máximo y mínimo respectivamente).
En la función derecha el máximo absoluto se produce en un cambio de rama (x1,f(x1)).
Ten presente que algunos textos no consideran la posibilidad de que un máximo o un mínimo aparezca en los extremos del dominio.
Por otro lado, y de manera general, para encontrar los máximos y los mínimos de una función hay que calcular sus puntos críticos. No tengas prisa, te enseñaremos a hacerlo cuando te hayamos presentado las derivadas, en el apartado dedicado específicamente a extremos de la función, pero, ¿sabrías decir ya qué pasa en los máximos y los mínimos con la recta tangente?
De manera particular, la parábola vertical es un ejemplo sencillo en el que puedes calcular sus máximos o mínimos absolutos, así como sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Recuerda que el vértice de la misma constituía el mínimo absoluto de la función si esta tenía las ramas hacia arriba (a>0), o el máximo absoluto si tenía las ramas hacia abajo (a<0). La siguiente tabla recoge estas ideas:
Expresión generalf(x)=a·x2+b·x+c
Mínimo
Máximo
Decrecimiento
Crecimiento
a>0
Vértice (−b2a,f(−b2a))
∄
(-∞, xv)
(xv, ∞)
a<0
∄
Vértice(−b2a,f(−b2a))
(xv, ∞)
(-∞, xv)
Curvatura
Estudiar la curvatura de una función consiste en estudiar su concavidad y su convexidad, así como sus puntos de inflexión. En este punto vamos a introducir todos estos conceptos, y a darte una primera aproximación sobre como puedes trabajarlos. Al igual que con la monotonía, en apartados posteriores te enseñaremos a estudiar la curvatura mediante derivadas.
Concavidad
Decimos que una función es cóncavaen un intervalo cuando el segmento que une dos puntos cualesquiera del intervalo siempre queda debajo de la gráfica. A las funciones cóncavas también se las llama cóncavas hacia abajo. Matemáticamente, una función es cóncava en un intervalo (x1, x2) cuando cualquier valor x∈(x1, x2) se cumple:f(x2)−f(x1)x2−x1≤f(x)−f(x1)x−x1
Decimos que una función es cóncava cuando lo es en todo su dominio.
Función cóncava
Para visualizar una función cóncava puedes imaginar una montaña como la de la izquierda. A la derecha, en negro, un segmento trazado entre dos puntos cualesquiera entre x1 y x2 siempre quedará por debajo de un tramo cóncavo.
Observa que en el entorno de un máximo, la función que pasa de creciente a decreciente es cóncava.
Convexidad
Decimos que una función es convexaen un intervalo cuando el segmento que une dos puntos cualesquiera del intervalo siempre queda encima de la gráfica. A las funciones convexas también se las llama cóncavas hacia arriba. Matemáticamente, una función es cóncava en un intervalo (x1, x2) cuando cualquier valor x∈(x1, x2) se cumple:f(x2)−f(x1)x2−x1≥f(x)−f(x1)x−x1
Decimos que una función es convexa cuando lo es en todo su dominio.
Función convexa
Para visualizar una función convexa, en este caso, utilizaremos el símil de un valle entre montañas como la de la izquierda. A la derecha, en negro, un segmento trazado entre dos puntos cualesquiera entre x1 y x2 siempre quedará por encima de un tramo convexo.
Observa que en el entorno de un mínimo, la función que pasa de decreciente a creciente es convexa.
En ocasiones puedes encontrar textos en los que los criterios de concavidad y convexidad sean justo los contrarios a los que te hemos presentado aquí.
Criterio de la recta tangente
La recta tangente a la función queda siempre por encima de esta en las funciones cóncavas y por debajo en las funciones convexas. Este criterio de puede ayudar a identificar los intervalos de concavidad y convexidad en las gráficas de funciones.
Curvatura y recta tangente
Podemos averiguar si estamos en un intervalo cóncavo o convexo «imaginando» como sería la recta tangente en cualquiera de sus puntos. A la izquierda, en el intervalo cóncavo, las rectas tangentes, en verde, quedan encima de la función, en negro, en cualquier punto. A la derecha, en el intervalo convexo, las rectas tangentes, en rojo, quedarían por debajo de la curva.
Puntos de inflexión
Una función tiene un punto de inflexión cuando cambia su curvatura, es decir, cuando pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. En un punto de inflexión la recta tangente queda por encima de la función en un lado, y por debajo en otro, es decir, la «atraviesa».
Acotación
De manera intuitiva, podemos decir que una función está acotada por arriba cuando el valor de sus imágenes nunca supera un determinado valor constante. Análogamente, podemos decir que una función está acotada por abajo cuando el valor de sus imágenes nunca es inferior a un determinado valor constante. Veamos unas definiciones un poco más formales.
Una función está acotada superiormente si existe un número real k tal que f(x)≤k para cualquier valor de x∈Domf. Al valor y=k se le llama cota superior de la función.
Cotas superiores y supremo
La gráfica de la figura representa una función cuyo valor máximo es k1. Se trata, por tanto, de una función acotada superiormente. Todas las funciones acotadas superiormente tienen infinitas cotas superiores (por ejemplo, y=k1, y=k2 o y=k3). A la menor de las cotas superiores se le llama supremo. k1 es el supremo de la función de nuestro ejemplo.
Una función está acotada inferiormente si existe un número real k tal que f(x)≥k para cualquier valor de x∈Domf. Al valor y=k se le llama cota inferior de la función.
Cotas inferiores e ínfimo
La gráfica de la figura representa una función cuyo valor mínimo es k1. Se trata, por tanto, de una función acotada inferiormente. Todas las funciones acotadas inferiormente tienen infinitas cotas inferiores (por ejemplo, y=k1, y=k2, y=k3). A la mayor de las cotas inferiores se le llama ínfimo. k1 es el ínfimo de la función de nuestro ejemplo.
Cuando una función está acotada superior e inferiormente podemos decir que la función está acotada (a secas).
Una función está acotada si existe un número real k tal que |f(x)|≤k para cualquier valor de x∈Domf. El valor y=k será una cota superior de la función, e y=-k una cota inferior, aunque no necesariamente serán el supremo y el ínfimo respectivamente.
Función acotada
La gráfica de la figura representa una función. Efectivamente, se cumple que -k≤f(x)≤k, con lo que se trata de una función acotada. Observa que y=k es el supremo de la función, cuyo opuesto, y=-k,no es el ínfimo (aunque sí una cota inferior). El ínfimo es y=-k1, cuyo opuesto y=k1, sin embargo, no es siquiera cota superior de f(x).
Finalmente, observa que cuando una función está acotada, los extremos de su recorrido son necesariamente valores finitos.
Para calcular si una función está acotada, calculamos su recorrido:
Si el extremo superior es un valor finito, la función está acotada superiormente. Si, además, la función alcanza su supremo en uno o varios puntos, estos son máximos absolutos
Si el extremo inferior es un valor finito, la función está acotada inferiormente. Si, además, la función alcanza su ínfimo en uno o varios puntos, estos son mínimos absolutos
Para estudiar la acotación de funciones continuas podemos utilizar el teorema de acotación, que veremos en niveles más avanzados.
Simetría
También llamada paridad, la simetría hace referencia a la correspondencia exacta entre dos partes de una función. Se puede distinguir entre simetría par o impar.
Decimos que una función presenta simetría par cuándo es simétrica respecto del eje de ordenadas y . Esto quiere decir que para cualquier x∈Domf, se cumple:f(x)=f(−x)
Simetría par
Arriba, en 1 y en 2, dos funciones simétricas respecto al eje y. Observa que cada valor x, tiene un valor -x, ambos en el dominio de la función, con igual imagen, es decir, f(x)=f(-x). Dicho de otra manera, si existe (x,f(x)), también existe (-x,f(x)). Por otro lado, tal y como se refleja en 3, para identificar las funciones de simetría par, puedes doblar, imaginariamente, la hoja por el eje y. Si las dos mitades de la función coinciden exactamente, la función es simétrica.
Decimos que una función presenta simetría impar cuándo es simétrica respecto del origen. Esto quiere decir que para cualquier x∈Domf, se cumple:−f(x)=f(−x)
Simetría impar
Arriba, en 1 y en 2, dos funciones simétricas respecto al origen. Observa que cada valor x, tiene un valor -x, ambos en el dominio de la función, con imagen opuesta, es decir, f(-x)=-f(x). Dicho de otra manera, si existe (x,f(x)), también existe (-x,-f(x)). Por otro lado, tal y como se refleja en 3, para identificar las funciones de simetría impar, puedes doblar, imaginariamente, la hoja dos veces. Una por el eje y y otra por el eje x. Si, tras girar 180º cada vez, las partes coinciden exactamente, la función es simétrica.
Existen funciones que son simétricas respecto a otros ejes distintos del eje x o del origen. También existen funciones que simplemente no son simétricas en absoluto.
En resumen, para calcular la simetría par o impar de una función cualquiera:
Si tenemos su expresión analítica, calculamos f(-x). Si coincide con f(x) es simétrica par. Si coincide con -f(x) es simétrica impar
Si tenemos su gráfica seguimos el método señalado de doblar la hoja «mentalmente». Si obtenemos coincidencia al doblar por el eje y, tenemos simetría par. Si no, volvemos a doblar por el eje x y si hay coincidencia esta vez, tenemos simetría impar
Periodicidad
Decimos que una función es periódica cuando su forma se repite cada cierto intervalo llamado periodo. Formalmente:
Una función es periódica de períodoT si cumple que f(x)=f(x+T) para todo x∈Domf.
Funciones periódicas
Las funciones trigonométricas son habitualmente periódicas. A la izquierda, en 1, la función seno. Vemos que la forma se repite cada 2π. A la derecha, una variante de la función tangente, cuyo periodo es 2.
Si lo piensas un poco, te darás cuenta que una función que se repite cada T, también se repite cada 2·T, 3·T y así sucesivamente. T sería, por tanto, el período mínimo de repetición, es decir, su período fundamental.
Para calcular si una función es periódica:
Si tenemos la expresión analítica partimos de f(x+T) y estudiamos si existe algún T que haga f(x+T)=f(x). Si existe, la función es periódica
Si lo que tenemos es la gráfica de la función, buscamos si la forma se repite cada cierto intervalo. Si es así, es periódica, y la longitud del intervalo es el período T
Conclusión
En este apartado hemos introducido distintos conceptos que te van a permitir describir con mayor precisión las funciones. Algunos de ellos los hemos trabajado, fundamentalmente, desde un punto de vista gráfico. Cuando te familiarices con estos conceptos y conozcas las derivadas, podremos sistematizar un poco más su estudio. Además, para entonces podremos presentarte otros conceptos que también se usan en el análisis de funciones, como la continuidad, la derivabilidad o las asíntotas. Por ahora te recomendamos que practiques con los ejercicios de este apartado.
Pierre de Fermat (1601-1665) y René Descartes (1596-1650) son los principales autores de la geometría analítica tal y como se conoce hoy en día. Descartes desarrolló la idea de fijar la posición de un punto de un plano por medio de su distancia hacia dos ejes ortogonales (conocidos terminológicamente como coordenadas cartesianas).
La geometría analítica emplea métodos algebraicos y ecuaciones para el estudio de problemas geométricos. Estudia las figuras, sus distancias, sus áreas, los puntos de intersección, los ángulos de inclinación, etc. Además, permite la representación e interpretación geométrica del álgebra. La idea básica de esta disciplina es el establecimiento de una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y los pares (x, y) de números reales. Esto puede realizarse de muchas maneras, pero la más utilizada es la de elegir una recta en un plano como eje x o eje de abscisas, y en esta, un punto O como origen, así como un segmento como unidad de medida. Se señalan en el eje los puntos que distan de O por unidades (uno, dos, tres…) y se les asigna un número. De esta manera, se atribuyen los valores positivos (+a) a las unidades situadas a la derecha de O y los valores negativos (-a) al segmento simétrico del mismo con respecto al punto O. Establecemos, así, una correspondencia entre los puntos del eje x y los números reales.
A continuación, en el mismo plano, se traza una recta perpendicular al eje x con origen en O que recibirá el nombre de eje y o eje de ordenadas. Sobre ella llevamos los números positivos (+b) por encima del punto O y los negativos (-b) por debajo. La unidad de medida en el eje de ordenadas no tiene que ser necesariamente la misma que se ha representado sobre el eje x.
Si se traza una recta paralela al eje x desde el eje y que sea correspondiente a b y otra recta que sea paralela al eje y por el punto correspondiente a a en el eje x, su punto de intersección (P) se designa como P(a, b). Por lo tanto, dado un par de números reales a y b hay un único punto posible, el que tiene por abcisa a y por ordenada b. Asimismo, si elegimos un punto en el plano podemos trazar desde él una única paralela a cada eje de coordenadas. Estas rectas cortarán los ejes en los puntos marcados con a y b, números que constituirán la pareja correspondiente al punto P. Diremos, entonces, que las coordenadas de P son (a, b).
Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. Estos reciben el nombre de primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, siendo el primero el que se encuentra en la parte derecha superior con respecto al punto O, el segundo el que está en la parte superior izquierda, el tercero, el inferior izquierdo, y, el cuarto, el inferior derecho. Los puntos del primer cuadrante tienen las coordenadas positivas, las del segundo cuadrante son negativas en el eje de abscisas (x) y positivas en el de ordenadas (y); las del tercero son negativas, y las del cuarto son positivas en el eje de abscisas y negativas en de ordenadas.
Dentro del área de las matemáticas, la geometría analítica tiene un importante papel en el cálculo. Es una herramienta fundamental para hallar tangentes, puntos, longitudes, áreas y volúmenes, muy empleada durante el Renacimiento para estudiar la astronomía, la óptica o la navegación.
Descartes y Fermat sugirieron un sistema con tres ejes de coordenadas para estudiar las curvas y las superficies en el espacio, aunque el sistema de geometría analítica de tres dimensiones no se desarrolló hasta el siglo XVIII, cuando matemáticos comenzaron a crear ecuaciones para representar cilindros, conos y demás figuras.
Aplicaciones de la geometría analitica
Aunque su función principal es la de establecer una correspondencia entre las curvas geométricas y las ecuaciones algebraicas que permite reformular los problemas geométricos en equivalentes algebraicos y viceversa, sus aplicaciones, sobre todo con la llegada de la computación en el siglo XX, se han extendido considerablemente. Actualmente, además de emplearse en el cálculo matemático, la geometría analítica, en concreto la tridimensional, es fundamental para la animación por ordenador y el diseño digital. Las coordenadas se usan para determinar los bordes de las curvas que forman los límites de las superficies de los objetos virtuales que se diseñan. Además, la geometría es la base del sistema vectorial, que aunque resulta complejo matemáticamente hablando, resulta muy productivo también para el diseño virtual de iluminación y sombras.
Te explicamos qué es un vector en física y matemáticas, su sentido, tipos, características y ejemplos. Además, otras acepciones de vector.
Los vectores pueden representarse en el plano cartesiano con coordenadas x,y.
¿Qué es un vector?
En física y matemáticas, un vector es un segmento de una línea recta, dotado de un sentido, es decir, orientado dentro de un plano euclidiano bidimensional o tridimensional. O lo que es lo mismo: un vector es un elemento en un espacio vectorial.
Los vectores permiten representar magnitudes físicas dotadas no sólo de intensidad, sino de dirección, como es el caso de la fuerza, la velocidad o el desplazamiento. Ese rasgo de contar con dirección es el que distingue a las magnitudes vectoriales de las escalares.
Además, un vector puede representarse en un plano cartesiano mediante un conjunto de coordenadas (x,y), o en uno tridimensional (x,y,z). Los vectores se representan típicamente mediante una flecha dibujada por encima del símbolo empleado.
Características de un vector
Los vectores, representados gráficamente, poseen las siguientes características:
Dirección. Definida como la recta sobre la cual se traza el vector, continuada infinitamente en el espacio.
Módulo o amplitud. La longitud gráfica que equivale, dentro de un plano, a la magnitud del vector expresada numéricamente.
Sentido. Representado por la punta de la flecha que gráficamente representa al vector, indica el lugar geométrico hacia el cual se dirige el vector.
Punto de aplicación. Correspondiente al lugar o punto geométrico en donde inicia el vector gráficamente.
Nombre o denominación. Representado mediante una letra que acompaña al vector gráficamente representado, y que coincide con la magnitud que expresa o con la suma de los puntos de inicio y fin de su valor.
Sentido de un vector
El sentido de los vectores se representa gráficamente mediante una punta de flecha apuntando en alguna dirección. Esto representa hacia qué lado de la línea de acción (dirección) se dirige el vector, o sea, hacia dónde apunta.
El sentido es sumamente importante a la hora de expresar magnitudes vectoriales, ya que puede determinar el tipo de operación o cálculo que es posible realizar con las mismas.
Tipos de vectores
Según la ubicación de su punto de aplicación, los vectores se clasifican en:
Vectores libres. Aquellos que no poseen un punto de aplicación particular.
Vectores deslizantes. Aquellos cuyo punto de aplicación puede ser uno cualquiera a lo largo de la recta de aplicación.
Vectores fijos o ligados. Aquellos que poseen un único y determinado punto de aplicación.
Sin embargo, también es posible clasificar los vectores según otros elementos, de la siguiente manera:
Vectores angulares o concurrentes. Aquellos que forman ángulos respecto de sus líneas de acción o direcciones.
Vectores opuestos. Aquellos que poseen igual magnitud pero sentido contrario.
Vectores colineales. Aquellos que comparten recta de acción.
Vectores paralelos. Aquellos cuyas líneas de acción sean, justamente, paralelas.
Vectores coplanarios. Aquellos cuyas rectas de acción estén situadas en un mismo plano.
Ejemplos de vectores
Los vectores permiten representar las diferentes fuerzas que intervienen en un movimiento.La física usa vectores en el plano cartesiano para representar la combinación de fuerzas.Los vectores permiten representar fuerzas contrapuestas gracias a que señalan la dirección.Los vectores pueden sumarse y restarse entre sí.En el plano cartesiano, los vectores permiten hacer muchos otros cálculos.
Otras acepciones de “vector”
El término vector se emplea también en biología, con el sentido de “mecanismo de transmisión” de alguna enfermedad o agente infeccioso.
Por ejemplo, el mosquito puede ser vector que numerosas enfermedades que requieren necesariamente de la picada de este insecto para transmitirse al ser humano. Los vectores sirven involuntariamente para que el agente infeccioso madure y se esparza geográficamente o poblacionalmente.
Por otro lado, se habla de vector también en el ámbito de la navegación espacial, como sinónimo de “lanzadera”, o sea, el vehículo de lanzamiento espacial que permite a otros vehículos más chicos alcanzar el espacio exterior.
En esta primera parte de la 1ª evaluación hemos dado las matrices :
Una matriz es un conjunto de números reales, que están dispuestos en «m» filas y en «n» columnas:
A los números que forman la matriz se les llama elementos.
El número de filas por el número de columnas se denomina dimensión de la matriz y se designa como m x n, siendo m el número de filas y n el número de columnas.
Por ejemplo, estas son matrices de diferentes dimensiones:
Donde la matriz A es una matriz de 2×3 (2 filas y 3 columnas), la matriz B es una matriz de 3×2 (3 filas y 2 columnas) y la matriz C es una matriz de 3×3 (3 filas y 3 columnas).
Las matrices son utilizadas en el álgebra lineal, una de las ramas del álgebra.
Tipos de matrices
A continuación vamos a ver los tipos de matrices que existen, junto con un ejemplo de cada una de ellas.
Matriz rectangular
Es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas (m≠n):
Matriz fila
Es toda matriz rectangular que tiene una sola fila (m = 1).
Matriz columna
Es toda matriz rectangular con una columna (n = 1).
Matriz opuesta
La matriz opuesta a otra matriz es la que tiene todos los elementos de signo contrario a la matriz original. Por ejemplo, si tenemos la matriz A:
Su matriz opuesta sería:
La matriz opuesta a A se designa como -A, donde que todos los elementos son de signo contrario a los elementos de la matriz A.
Matriz traspuesta
Se llama matriz traspuesta de una matriz cualquiera de dimensión m x n a la matriz que se obtiene al convertir las filas en columnas. Se representa con el superíndice «t»y su dimensión es por tanto n x m.
Por ejemplo, tenemos la siguiente matriz A, de dimensión 2 x 3 (2 filas y 3 columnas):
Su matriz traspuesta, designada con el superíndice «t», se obtiene convirtiendo las filas en columnas. Por tanto, la primera fila de la matriz A, formada por los elementos 1, -3 y 0, pasa a ser la primera columna de su matriz traspuesta. De la misma forma, la segunda fila de la matriz A, formada por los elementos 2, 4 y 1, pasa a ser la segunda columna de su matriz traspuesta:
La dimensión de la matriz traspusta de A es de 3 x 2 (3 filas y 2 columnas):
Matriz cuadrada de orden n
Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (m = n). En este caso, la dimensión se denomina orden, cuyo valor coincide con el número de filas y de columnas.
Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz cuadrada de orden 3, ya que tiene 3 filas y 3 columnas:
Entre los elementos de las matrices cuadradas suelen tenerse muy en cuenta los que forman las diagonales de la matriz.
Así, se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a los elementos que componen la diagonal que va desde la esquina superior izquierda, hasta la esquina inferior derecha:
Se llama diagonal secundaria de una matriz cuadrada a los elementos que componen la diagonal que va desde la esquina superior derecha, hasta la esquina inferior izquierda:
Matriz triangular superior
Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por encima de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros:
Normalmente, cuando se dice que hay que triangular la matriz, se refiere a que hay que hacer ceros los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal.
Matriz triangular inferior
Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por debajo de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por encima de la diagonal principal son ceros:
Matriz diagonal
Es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son ceros:
Matriz escalar
La matriz escalar es toda matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales:
Matriz identidad
Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal valen uno, es decir, la diagonal principal está formada por 1, y el resto de los elementos son 0:
Matriz nula
La matriz nula donde todos los elementos son cero. Suele designarse con un 0:
tiene un punto crítico en un intervalo dado. Este teorema se enuncia como sigue:![[a, b]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5340a936af86475520735fed634c7ccd_l3.png)
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y que todavía exista un punto 
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